Halaman
235BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiNilai Ekstrim Fungsidan Teknik MembuatGrafik FungsiSetelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat:1. menentukan selang di mana suatu fungsi aljabar naik atau turun,2. menentukan titik stasioner suatu fungsi aljabar beserta jenis ektrimnya,3. menentukan titik belok suatu fungsi aljabar,4. menggambarkan grafik fungsi aljabar,5. menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya menentukanekstrim fungsi aljabar,6. menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai peubah dalam ekspresimatematikanya,7. merumuskan fungsi aljabar yang merupakan model matematika dari suatumasalah,8. menentukan penyelesaian dari model matematika,9. memberikan tafsiran terhadap penyelesaian dari masalah.Tujuan PembelajaranVIBAB
Matematika Kelas XI - IPS SMA236Gedung A dan B adalah dua gedung yang berhadapan pada masing-masing tepi suatudanau yang lurus dengan lebar 3 km. Gedung C terletak di tepi danau di mana gedung Bberada, dan jauhnya 6 km dari B. Suatu perusahaan telekomunikasi akan memasang kabeltelepon dari A ke C. Jika biaya pemasangan kabel per kilometer di bawah air adalah 25% lebihmahal dari pada pemasangan kabel di daratan, bagaimanakah cara pemasangan kabel yangtermurah untuk perusahaan tersebut? Ilustrasi posisi dari gedung A, B, dan C diberikan olehgambar berikut.Gambar 6.1Pemecahan dari masalah ini erat hubungannya dengan pengoptimuman fungsi. Sebelummenyelesaikan masalah ini secara khusus, sebaiknya Anda harus sudah menguasai babsebelumnya, terutama fungsi, limit fungsi, dan turunan. Dengan telah menguasai konsep-konsepini, secara khusus permasalahan yang kita hadapi di depan dapat kita selesaikan.6.1 Fungsi Naik dan Fungsi TurunGambar 6.2 memberikan sketsa grafik fungsi fpada interval 16[,]xx. Grafik itumemperlihatkan bahwa jika titik bergerak sepanjang kurva dari A ke B, maka nilai fungsibertambah seiring bertambahnya absis; dan juga jika titik bergerak sepanjang kurva B keC, maka nilai fungsi berkurang seiring bertambahnya absis. Dalam hal ini kita katakanbahwa fnaik pada interval 12[,]xx, dan turun pada 23[,]xx. Definisi formalnya kitaberikan berikut.PengantarBCA3
237BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiGambar 6.2Definisi 6.11. Fungsi f dikatakan naik pada interval I , jika untuk sembarang,12xx I∈ dengan 12xx<, maka:12() ( )fxfx<2. Fungsi fdikatakan turun pada interval I, jika untuk sembarang,12xx I∈ dengan 12xx<, maka:12() ( )fxfx>.Pada ilustrasi Gambar 6.2, fungsi f naik pada interval tertutup:[x1, x2], [x3, x4], dan [x5, x6].Fungsi f turun pada interval tertutup:[x2, x3] dan [x4, x5].Hubungannya dengan turunan, kita mempunyai sifat berikut ini.Teorema 6.1Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan pada interval tertutup [a, b].1. Jika '( )0fx> untuk setiap xdi dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].2. Jika '( )0fx< untuk setiap x di dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].BDEFCAx1x2x3x4x5x6yx
Matematika Kelas XI - IPS SMA238Contoh 6.1.1Diberikanf(x) = x3 6x2 + 9x +1Tentukan pada interval mana fnaik atau turun.Penyelesaian:Kita mempunyai2'() 3 129fxxx=−+Dengan mengambil '()0fx=, kita memperoleh:231290xx−+=⇔ 3(x 3)(x 1) = 0⇔x = 3 atau x = 1Tabel 6.1Dari Tabel 6.1 kita simpulkan bahwa fnaik untuk x < 1 atau x > 3, dan turun untuk1 < x< 3.Gambar 6.3Grafik Fungsi32691yxxx=− ++WContoh 6.1.2Diberikan 24 , untuk 3()8 , untuk 3xxfxxx⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩.Tentukan pada interval mana fnaik atau turun.Penyelesaian:Fungsi ftidak mempunyai turunan di x = 3 (mengapa?), dan2 , untuk 3'()1 , untuk 3xxfxx<⎧=⎨−>⎩ IntervalKesimpulan()f x′x < 11 < x < 33 < x++f naikf turunf naiky86420 1 2 3 4 5xy = x3 6x2 + 9x + 1
239BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiDengan mengambil '( )0fx=, maka:2x= 0⇔x = 0Tabel 6.2Tabel 6.2 menyatakan bahwa fnaik pada interval 0 < x < 3, dan turun pada x < 0 ataux > 3.Gambar 6.4W1. Untuk setiap fungsi yang diberikan, tentukan interval di mana fungsi itu naik atau turun.a.f(x) = x2 4x 3d.f(x) = x3 3x2 9xb. f(x) = x2 3x + 2e.f(x) = 14x4 x3 + x2c.f(x) = x3 9x2 + 15x 5f.f(x) = 3x4 4x3 12x2 + 52. Untuk setiap fungsi yang diberikan, tentukan interval di mana fungsi itu naik atau turun.a.1() 22fxxx=+d.f(x) = (1 x)2(1 + x)3b.2()2xfxx+=−e.2() 1fxxx=+c.() 5fxxx=−f.f(x) = 2 3(x 4)2/3 IntervalKesimpulan()f x′x < 00 < x < 33 < x+f turunf naikf turunLatihan 6.154321-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9x-4y
Matematika Kelas XI - IPS SMA2403. Diketahui fungsi produksi suatu perusahaan adalah:2313() 2 52Cxxxx=+ − +a. Tentukan fungsi produksi marginal.b. Tentukan interval di mana fungsi produksi naik dan di mana turun.4. Diketahui fungsi produksi suatu perusahaan adalah:23() 150040,250,0002Cxxxx=+− +a. Tentukan fungsi produksi marginal.b. Tentukan pada tingkat produksi berapakah fungsi produksi marginal mulai naik.5. Diketahui fungsi produksi suatu perusahaan adalah:23()90060,30,001Cxxxx=+− +a. Tentukan fungsi produksi marginal.b. Tentukan pada tingkat produksi berapakah fungsi produksi marginal mulai naik.6.2 Nilai EkstrimBeberapa aplikasi dari turunan yang terpenting adalah persoalan pengoptimuman.Dalam kasus ini kita dituntut untuk mencari metode terbaik untuk melakukan sesuatu.Sebagai contoh adalah masalah pemasangan kabel telepon yang diungkapkan di awalbab. Persoalan ini dapat direduksi menjadi pencarian nilai minimum fungsi. Serupadengan ini, banyak masalah yang intinya adalah pencarian nilai maksimum. Oleh karenaitu, pada subbab ini kita akan mengkaji nilai maksimum dan nilai minimum fungsi.Penelusuran nilai maksimum dan minimum dapat dilakukan melalui pendekatan grafik.Jika kita kembali pada Gambar 6.2, titik B atau D nilainya paling besar di antara titik-titik sekitarnya. Dalam hal ini, kita menyebutnya bahwa B dan D nilai maksimum relatif.Sementara itu, titik C atau E pada Gambar 6.2 nilainya paling kecil di antara titik-titiksekitarnya. Dalam hal ini, kita menyebutnya bahwa C dan E nilai minimum relatif. Secaraumum, kita mempunyai definisi berikut.Definisi 6.21. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c, jikaterdapat interval terbuka yang memuat c, sehingga:()()fc fx≥untuk x dalam interval tersebut.2. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c, jikaterdapat interval terbuka yang memuat c, sehingga:()()fc fx≤untuk x dalam interval tersebut.3. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif atau minimumrelatif di c, dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c.
241BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiGambar 6.5 masing-masing menunjukkan sketsa dari sebagian grafik suatu fungsiyang mempunyai maksimum relatif di c. Sedangkan, Gambar 6.6 masing-masingmenunjukkan sketsa dari sebagian grafik fungsi yang mempunyai minimum relatif di c.Gambar 6.5Sketsa Maksimum FungsiGambar 6.6Sketsa Minimum FungsiJika kita perhatikan Gambar 6.5 (a) dan 6.6 (a), maka garis singgung di titik (c, f(c))horizontal; ini adalah titik di mana '()0fc=. Kita akan menamai secara khusus titiksemacam ini.Definisi 6.3Jika '()0fc=, maka fungsi f dikatakan stasioner di c. Nilai f(c) disebutnilai stasionerdari f. Titik (c, f(c)) disebut titik stasioner dari f.Sebaliknya, tampak pada Gambar 6.5 (b) dan 6.6 (b) bahwa fungsi f di bilangan ctidak mempunyai turunan (masih ingat mengapa?). a c b x a c b x (a) (b) a c b x a c b x (a) (b)
Matematika Kelas XI - IPS SMA242Dari keempat kasus di atas, kita mempunyai kesimpulan berikut ini.Teorema 6.2Jika fterdefinisi pada (a, b) dan mempunyai ekstrim relatif di c, a < c < b,maka '()0fc= atau '()fc tidak ada.Bilangan c di dalam daerah asal fsehingga '()0fc= atau '()fc tidak ada kita sebutsebagai bilangan kritis.Lebih lanjut, dari Gambar 6.5 (a) dan 6.6 (a) secara geometri juga dapat kita simpulkanbahwa jika fungsi f yang mencapai maksimum relatif di c, maka grafik f di kiri titik cnaik dan di kanan c turun. Sebaliknya, dari Gambar 6.5 (b) dan 6.6 (b) jika fungsi fmencapai minimum relatif di c, maka grafik di kiri c turun dan di kanan c naik. Denganfakta ini dan Teorema 6.1, kita mempunyai alat uji ekstrim yang dikenal sebagai UjiTurunan Pertama untuk Ekstrim Relatif.Teorema 6.3 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Relatif)Misalkan f mempunyai turunan di sekitar c, kecuali mungkin di csendiri.1. Jika '()0fx> untuk x < c, dan '()0fx< untuk c < x, maka fungsi fmempunyai nilai maksimum relatif di c.2. Jika '()0fx< untuk x < c, dan '()0fx> untuk c < x, maka fungsi fmempunyai nilai minimum relatif di c.Sebagai kesimpulan, langkah-langkah untuk menentukan ekstrim relatif suatu fungsif adalah:1. Tentukan'( )fx.2. Tentukan bilangan kritis nilai x ('()0fx= atau '()fx tidak ada).3. Gunakan uji turunan pertama (Teorema 6.3).Contoh 6.2.1Diberikanf(x) = x3 6x2 + 9x +1Tentukan jenis ekstrim relatif dari fungsi f.Penyelesaian:1. Kita mempunyai'( )fx= 3x2 12x + 92. Dari Contoh 6.1.1,'()0fx=⇔x = 3 atau x = 1
243BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik Fungsi3. Dengan uji turunan pertama, hasilnya disimpulkan pada Tabel 6.3.Tabel 6.3Dari Tabel 6.3, kita menyimpulkan bahwa nilai maksimum relatif dari fadalah 5yang terjadi di x = 1, dan nilai minimum relatif dari f adalah 1 yang terjadi di x = 3.Lihat kembali Gambar 6.3.WContoh 6.2.2Diberikan35() (4 )fxxx=−Tentukan jenis ekstrim relatif dari fungsi f.Penyelesaian:1. Dari Contoh 6.1.2, kita peroleh:2 , untuk 3'()1 , untuk 3xxfxx<⎧=⎨−>⎩Ingat bahwa ftidak mempunyai turunan di x= 3.2. Dalam hal ini,'()fx tidak ada ⇔x = 3dan stasioner'()0fx=⇔x = 03. Dengan uji turunan pertama, hasilnya disimpulkan pada Tabel 6.4.Tabel 6.4Dari Tabel 6.4, kita menyimpulkan bahwa nilai maksimum relatif dari fadalah 5yang terjadi di x = 3, dan nilai minimum relatif dari f adalah 4 yang terjadi dix = 0. Lihat Kembali Gambar 6.4.W IntervalKesimpulan()f x′x < 1x = 11 < x < 3x = 33 < x+00+f naikf mempunyai nilai maksimum relatiff turunf mempunyai nilai minimum relatiff naikf(x)51 IntervalKesimpulan()f x′x < 0x = 00 < x < 3x = 33 < x0+tidak adaf turunf mempunyai nilai minimum relatiff naikf mempunyai nilai maksimum relatiff turunf(x)45
Matematika Kelas XI - IPS SMA244Kecekungan dan Titik BelokKita perhatikan Gambar 6.7. Kedua grafik menghubungkan titik A dan B, tetapimereka kelihatan berbeda karena mereka melengkung pada arah yang berlainan.Bagaimana perbedaan dua perlakuan ini? Pada Gambar 6.8 telah digambarkan beberapagaris singgung dari kedua kurva ini. Pada gambar (a), kurva terletak di atas garis singgungdan f cekung ke atas pada (a, b). Pada gambar (b), kurva terletak di bawah garis singgungdan grafik g cekung ke bawah pada (a, b).Gambar 6.7Gambar 6.8Secara umum, kita mempunyai definisi berikut ini.Definisi 6.4Grafik fungsi f dikatakan cekung ke atas pada interval I, jika grafik f terletakdi atas semua garis singgungnya pada I. Grafik fungsi f dikatakan cekungke bawah pada interval I, jika grafik f terletak di bawah semua garissinggungnya pada I.Jika kita perhatikan grafik pada Gambar 6.8 (a), berangkat dari kiri ke kanan,kemiringan garis singgung bertambah besar. Ini artinya bahwa turunan 'f adalah fungsinaik, sehingga turunannya ''f adalah positif. Serupa, pada Gambar 6.8 (b), kemiringangaris singgung berkurang dari kiri ke kanan, sehingga 'f fungsi turun dan berakibat''f adalah negatif. Secara umum kita mempunyai uji kecekungan berikut ini.y0 a b xAfBy0 a b xAg B(a) (b)y0 a b xAfBy0 a b x AgB (a) (b)
245BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiTeorema 6.4 (Uji Kecekungan)1. Jika ''()0fx> untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke ataspada I.2. Jika ''()0fx< untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawahpada I.Dari Teorema 6.4 kita dapat bertanya: apa tafsirannya terhadap grafik apabila''( )0fx=? Mudah untuk kita jawab pertanyaan ini, yaitu di titik tersebut merupakanperubahan kecekungan dari cekung ke atas berubah menjadi cekung ke bawah, atausebaliknya. Dengan demikian di titik tersebut grafiknya mengalami pembelokan arahgaris singgung.Definisi 6.5Titik P pada kurva disebut titik belok, jika kurva berubah dari cekung keatas menjadi cekung ke bawah, atau dari cekung ke bawah menjadi cekungke atas di P.Sebagai konsekuensi Teorema 6.4, jika turunan kedua ada di titik belok, maka turunankedua di titik tersebut sama dengan nol.Teorema 6.5Jika f mempunyai turunan pada interval yang memuat c dan (c, f (c))adalah titik belok, maka ''()fc ada dan ''()0fc=.Contoh 6.2.3Diberikanf(x) = x3 6x2 + 9x + 1Tentukan titik belok grafik fungsi f dan juga interval di mana grafiknya cekung ke atasdan cekung ke bawah.Penyelesian:Dari fungsi yang diberikan,'( )fx= 3x2 12x+ 9 dan ''()fx= 6x 12''( )fx ada untuk setiap x. Menurut Teorema 6.5, kemungkinan titik belok hanya dibilangan x sehingga ''( )fx = 0,6x 12 = 0⇔x = 2Kita periksa tanda ''( )fx dengan Teorema 6.4,
Matematika Kelas XI - IPS SMA246Tabel 6.5Dari Tabel 6.5, kita menyimpulkan bahwa (2, 3) adalah titik belok grafik fungsi f, grafikcekung ke bawah pada interval x < 2, dan grafik cekung ke atas pada interval x > 2.Gambar 6.9W1. Jika fpositif dan cekung ke atas pada interval I, perlihatkan bahwa fungsi2()[()]gxfx= cekung ke atas pada I.2. Jika f dan g adalah fungsi positif, naik, dan cekung ke atas pada interval I, perlihatkanbahwa fungsi fg cekung ke atas pada I.Contoh 6.2.4Diberikan13()fxx=Tentukan titik belok dari fungsi f.Penyelesaian:Dari fungsi yang diberikan,231'()3fxx−= dan ''( )fx= 5329x−−Terlihat bahwa '(0)f dan ''(0)f tidak ada (mengapa?). Kita periksa tanda ''( )fx denganTeorema 6.4. IntervalKesimpulan()f x′x < 2x = 22 < x3grafik cekung ke bawahgrafik mempunyai titik belokgrafik cekung ke atasf(x) 3()f x′′0+Tugas Mandiriy = x3 6x2 + 9x + 1xy 1 2 3 4 58264
247BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiTabel 6.6Jadi, (0,0) adalah titik belok grafik fungsi f, grafik cekung ke atas pada interval x < 0 dangrafik cekung ke bawah pada interval x > 0.Gambar 6.10WSelain bermanfaat untuk menentukan titik belok, keuntungan lain dari turunan keduaadalah bahwa turunan tersebut dapat digunakan sebagai uji ekstrim relatif.Teorema 6.6 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Relatif)Misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka yang memuat cdan '()0fc=.1. Jika ''()0fc<, maka fmempunyai nilai maksimum relatif di c.2. Jika ''()0fc>, maka f mempunyai nilai minimum relatif di c.Contoh 6.2.5Diketahui fungsi:f(x) = x3 3x2Tentukan titik-titik stasioner beserta jenisnya.Penyelesaian:Kita mempunyai2'() 3 6fxxx=− dan ''() 6 6fxx=−Titik stasioner diperoleh apabila '()0fx=2 3 60xx⇔−=2 20xx⇔−=0 atau 2xx⇔==Dengan uji turunan kedua kita selidiki jenis ekstrimnya. IntervalKesimpulan()f x′x < 0x = 00 < x+tidak ada+fnaik, grafik cekung ke atasgrafik mempunyai titik belokfnaik, grafik cekung ke atasf(x)0()f x′′+tidak adayx-3 -2 -1 1 2 321-1-2
Matematika Kelas XI - IPS SMA248Tabel 6.7Dari Tabel 6.7, kita menyimpulkan bahwa (0,0) dan (2,4) adalah titik-titik stasioner,masing-masing merupakan titik maksimum relatif dan minimum relatif.Gambar 6.11Grafik Fungsi y = x3 3x2WJika K(t) merupakan ukuran pengetahuan yang Anda capai dalam belajar selama t jamuntuk suatu ujian. Mana yang lebih besar, K(8) K(7) atau K(3) K(2)? Apakah K cekungke atas atau cekung ke bawah? Mengapa? Diskusikan dalam kelompok Anda.1. Untuk setiap fungsi yang diberikan, tentukan titik-titik stasioner dan ekstrim relatif denganuji turunan pertama.a.f(x)= x2 + 4x 3d.f(x) = x4 + 4xb.f(x)= x3 3x + 2e.f(x) = 15x5 53x3 + 4x + 1c.f(x)= 2x3 9x2 + 2 IntervalKesimpulan()f x′x = 0x = 200f mempunyai maksimum relatiff mempunyai minimum relatiff(x)0 4()f x′′+Latihan 6.2Tugas Kelompok16141210 8 6 4 2 -1 -2 -1 1 2 3 4yxy = x3 3x2
249BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik Fungsi2. Untuk setiap fungsi berikut, tentukan ekstrim relatif dengan uji turunan pertama.a.f(x) = (x + 2)2(x 1)2d.f(x) = 23x(x 1)2b.f(x) = x3x−e.229 , untuk 2()1 , untuk 2xxfxxx+≤−⎧⎪=⎨+>−⎪⎩c.f(x) = x 133x3. Tentukan ekstrim relatif dari fungsi pada soal nomor 1 dan nomor 2 dengan uji turunankedua (jika mungkin).4. Untuk setiap grafik dari fungsi berikut, tentukan titik beloknya (jika ada), interval di managrafik cekung ke atas dan cekung ke bawah.a.f(x) = x3 + 9xf.H(x)= (x + 2)1/3b.g(x) = x3 6x2 + 20g.f (x)= (x 1)1/3c.h(x) = x4 8x3h.g(x)= 22( 3)x+d.F(x) = (x + 2)3i.h(x)= 2(4)xx+e.G(x) = (x 1)3j.() 1Gxxx=+5. Tentukan nilai a, b, dan c sehingga grafik dari fungsi f(x) = ax3 + bx2 + cx mempunyai titikbelok di (1, 2) dan gradien garis singgung di titik tersebut adalah 2.6. Tentukan nilai a dan b sehingga fungsi yang didefinisikan oleh f(x) = x3 + ax2 + b mempunyaiekstrim relatif di (2, 3).7. Diketahui fungsi produksi suatu perusahaan adalah:3() 200100,001Cxxx=++a. Tentukan tingkat produksi x yang meminimumkan C(x).b. Tentukan di mana grafik fungsi produksi cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah.c. Tentukan titik belok grafik fungsi produksi.8 . Diketahui fungsi produksi suatu perusahaan adalah:23() 1800250,20,001Cxxxx=+− +a. Tentukan tingkat produksi x yang meminimumkan C(x).b. Tentukan di mana grafik fungsi produksi cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah.c. Tentukan titik belok grafik fungsi produksi.9. Sebuah perusahaan yang membuat meja tulis dioperasikan dengan persaingan sempurnadan dapat menjual semua jenis meja tulis yang dibuatnya dengan harga Rp200.000,00 permeja. Misalkan x menyatakan banyaknya meja yang dijual setiap minggu dan C(x) jutamenyatakan biaya produksi setiap minggu dengan C(x) = 3.000 + 400x + x2. Berapa banyakmeja tulis yang harus dibuat setiap minggu sehingga perusahaan tersebut memperolehkeuntungan terbesar?10. Suatu epidemi penyakit berjangkit di lingkungan masyarakat. Dalam x bulan setelahepidemi mulai berjangkit, P persen penduduk telah ketularan, dengan:22230(1 )xPx=+Setelah berapa bulan paling banyak penduduk ketularan dan berapa persenkah ini daripenduduknya?
Matematika Kelas XI - IPS SMA2506.3 Ekstrim Mutlak pada Interval TertutupPada subbab 6.2 kita telah membahas bahwa syarat perlu fungsi mempunyai ektrimrelatif di c dalam daerah asal adalah bahwa c bilangan kritis. Tetapi jika daerah asal fadalah interval tertutup, maka kita dapat menemukan nilai fungsi terbesar atau terkecilpada interval tersebut. Kita perhatikan ilustrasi fungsi berikut. Misalkan f diberikanoleh:21 , untuk 1()6 7 , untuk 1xxfxxxx+<⎧⎪=⎨−+≥⎪⎩Sketsa grafik f pada interval [4, 4] diberikan oleh Gambar 6.12. Perhatikan bahwa fmempunyai nilai ekstrim relatif di x = 1 dan x= 3 karena 1 dan 3 adalah bilangan kritis f,dengan:f(1) = 2 dan f(3) = 2Kemudian nilai f pada batas interval,f( 4) = 3 dan f(4) = 1Jadi, kita peroleh nilai terbesar dari f pada interval [4, 4] adalah 2, dan nilai terkecildari f pada interval tersebut adalah 3. Nilai ini masing-masing disebut sebagai nilaimaksimum mutlakdan nilai minimum mutlak dari fpada [4, 4].Gambar 6.12Definisi 6.6Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval tertutup dan c anggota interval.1. Jika () ()fcfx≥ untuk semua xdalam interval , maka f(c) disebut nilaimaksimum mutlak dari fpada interval tersebut.2. Jika () ()fcfx≤ untuk semua x dalam interval , maka f(c) disebut nilaiminimum mutlak dari fpada interval tersebut.3. Jika f(c) maksimum mutlak atau minimum mutlak, maka f(c) disebutnilai ekstrim mutlak dari f. 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4yx
251BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiFaktanya, fungsi f padailustrasi di atas adalah fungsi aljabar dengan daerah asalinterval tertutup [4, 4]. Hasil ini berlaku untuk sembarang fungsi aljabar dengan daerahasal interval tertutup.Teorema 6.7 (Teorema Nilai Ekstrim)Jika f fungsi aljabar dengan daerah asal interval tertutup [a, b], maka fmencapai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a, b].Dari ilustrasi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa kemungkinan ekstrim mutlakdari fungsi aljabar pada interval tertutup terjadi di bilangan kritis atau di batas interval,sehingga kita mempunyai metode pencarian ekstrim berikut ini.Metode Interval TertutupUntuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi aljabarf dengan daerah asal interval tertutup [a, b]:1. Carilah nilai fdi bilangan kritis fdi dalam (a, b).2. Carilah nilai fdi titik batas interval.3. Bandingkan nilai-nilai pada langkah 1 dan 2, yang terbesar adalah nilaimaksimum mutlak; yang terkecil adalah nilai minimum mutlakContoh 6.3.1Diketahui fungsi:f(x) = x3 3x2pada interval tertutup [1, 4]. Tentukan ekstrim mutlak dari fpada interval tersebut.Penyelesian:Karena fkontinu pada interval tertutup [1, 4], kita gunakan Metode Interval Tertutup.Kita mempunyai 2'( )36fx x x=−, dan bilangan kritis terjadi apabila '( )0fx=,'()0fx=⇔ 3x(x 2) = 0⇔x = 2 atau x = 0 (tidak memenuhi karena di luar interval)Satu-satunya bilangan kritis untuk f pada interval [1, 4] adalah x = 2. Nilai fdi bilangankritis ini adalah:f(2) = 23 3(2)2 = 4Nilai fdi titik batas interval adalah:f(1) = 13 3(1)2 = 2 dan f(4) = 43 3(4)2 = 16Dengan membandingkan ketiga bilangan ini, kita peroleh nilai maksimum mutlakadalah f (4) = 16, dan nilai minimum mutlak adalah f (2) = 4. Lihat kembali grafik f padaGambar 6.11 pada interval [1, 4].W
Matematika Kelas XI - IPS SMA252Contoh 6.3.2Model pertumbuhan pendapatan (dalam jutaan rupiah) suatu perusahaan selama 26bulan, yang mulai beroperasi pada 1 April 2005 mengikuti fungsi:32()0,0013020,0902923,61 3,083Ptttt=−+−, 026t≤≤Dengan model ini, perkirakan nilai ekstrim mutlak dari laju pertumbuhan pendapatantersebut.Penyelesaian:Laju pertumbuhan pendapatan adalah:2'()0,0039060,18058 23,61Pttt=−+Kita terapkan Metode Interval Tertutup terhadap 'P pada interval 0126t≤≤.Turunannya adalah "()0,0078120,18058Ptt=−.Bilangan kritis hanya terjadi ketika "()0Pt=.10,1805823,120,007812t=≈Dengan menghitung 'P(t) di bilangan kritis dan di titik ujung, kita peroleh:'P(0) = 23,611'(21, 52)Pt≈'P(126) = 62,87Jadi, laju pertumbuhan maksimum kira-kira 62,87 juta rupiah per bulan dan lajupertumbuhan minimum kira-kira 21,52 juta rupiah per bulan.WUntuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 10, tentukan (jika ada) ekstrim mutlak dari setiapfungsi yang diberikan pada interval yang ditentukan.1.f(x) = x3 + 5x 4, [3, 1] 6.2()9fxx=−, [1, 2]2.f(x) = 2x3 + 3x2 + 4, [2, 1] 7.f(x) =2xx+, [1, 2]3.f(x) = x4 8x2 + 16, [4, 0] 8.f(x) = 123xx+−, [0, 1]4.f(x) = 3x5 5x3 1, [2, 2]9.23() ( 1)fxx=+, [2, 1]5.f(x) = 2() 2fxxx=+, [1/2, 2]10.2 7 , untuk 1 2()21 , untuk 2 4xxfxxx−−≤≤⎧⎪=⎨−<≤⎪⎩Latihan 6.3
253BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik Fungsi11. Pada suatu monopoli, persamaan permintaan suatu barang tertentu adalah 140xp+=,dengan x banyaknya satuan barang yang diproduksi setiap hari dan p juta menyatakanharga setiap satuan. Biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk memproduksi x satuandiberikan oleh:2() 30020Cxxx=++ untuk [0,140]x∈a. Tentukan fungsi keuntungan total.b. Tentukan fungsi pendapatan marginal dan fungsi biaya marginal.c. Tentukan maksimum keuntungan setiap hari.12. Misalkan dalam suatu monopoli, persamaan permintaan suatu barang tertentu adalah15100px=−, dengan p juta menyatakan harga x barang dengan [100,1000]x∈. Biayaproduksi dalam jutaan rupiah untuk memproduksi x satuan diberikan oleh () 1002Cxx=+.a. Tentukan fungsi pendapatan marginal dan fungsi biaya marginal.b. Tentukan nilai x yang menghasilkan keuntungan maksimum.6.4 Menggambar Grafik Fungsi AljabarSedemikian jauh kita telah membahas beberapa aspek tentang fungsi, kini padagilirannya kita siap menuangkan aspek-aspek tersebut untuk menggambarkan grafiksecara benar. Kita mempunyai pedoman untuk membuat sketsa grafik fungsi y = f (x):1. Daerah asal.2. Perpotongan sumbu.Perpotongan sumbu-y adalah f(0), dan perpotongan sumbu-x kita ambil untuk y = 0.3. Interval naik dan turun.4. Nilai ekstrim beserta jenisnya.5. Kecekungan dan titik belok.6. Gambarkan sketsa kurva.Contoh 6.4.1Gambarkan grafik dari fungsi f(x) = x3 3x 2.Penyelesaian:1. Daerah asal adalah ¡ (himpunan semua bilangan real) karena f sukubanyak.2. Titik potong grafik dengan sumbu-x, yaitu untuk y = 0,y= 0⇔x3 3x 2 = 0⇔ (x + 1)2 (x 2) = 0⇔x= 1 atau x = 2Jadi, titik potong grafik dengan sumbu-x adalah (1, 0) dan (2, 0).Titik potong grafik dengan sumbu-y, yaitu untuk x = 0,x = 0⇒y = 03 3 · 0 2 = 2Jadi, titik potong grafik dengan sumbu-y adalah (0, 2).3. Kita mempunyai 2'() 3 3fxx=− dan ''() 6fxx=,'( )0fx=⇔ 3x2 3 = 0⇔ 3(x 1)(x + 1) = 0⇔x = 1 atau x = 1
Matematika Kelas XI - IPS SMA254dan''( )0fx=⇔6x = 0⇔x = 0Kita rangkum hasilnya sebagai berikut.Tabel 6.8Dari Tabel 6.8, kita mempunyai (1, 0) adalah titik maksimum relatif, dan (1, 4) adalahtitik minimum relatif.Gambar 6.13WContoh 6.4.2Gambarkan grafik dari fungsi:f (x) = 3x5 5x3Penyelesaian:1. Karena fsukubanyak, maka daerah asalnya adalah ¡.2. Titik potong grafik dengan sumbu-x, yaitu untuk y = 0,y= 0⇔ 3x5 5x3 = 0⇔x3 (3x2 5) = 0⇔x= 0 atau x = 531,3≈ atau x = 531,3−≈− IntervalKesimpulan()f x′x < 1x = 1x = 01 < x < 1x = 11 < x+00+fnaikf mempunyai maksimum relatiffmempunyai titik belokfturunf mempunyai minimum relatiffnaikf(x)0 24()f x′′0+yx -2 -1 1 2 315100-4
255BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiJadi, titik potong grafik dengan sumbu-x adalah (0,0), (1,3, 0), dan (1,3, 0).Titik potong grafik dengan sumbu-y, yaitu untuk x = 0,x = 0⇒y = 3 · 05 5 · 03 = 0Jadi, titik potong grafik dengan sumbu-y adalah (0, 0).3. Kita mempunyai'( )fx =15x4 15x2 dan ''( )fx= 60x3 30x,'( )fx= 0⇔ 15x4 15x2= 0⇔ 15x2(x 1)(x + 1) = 0⇔x = 0 atau x = 1 atau x = 1dan''( )fx= 0⇔ 60x3 30x = 0⇔ 30x(2x2 1) = 0⇔x = 0 atau x =120,7≈ atau x = 12 0,7−≈−Tabel 6.9Dari Tabel 6.9, kita mempunyai (1, 2) adalah titik maksimum relatif, dan (1, 2) adalahtitik minimum relatif. Titik beloknya adalah ( 0,7, 1,2), (0, 0), dan (0,7, 1,2).Gambar 6.14W IntervalKesimpulanx < 1x = 11 < x < 0,7x = 0,70,7 < x < 0x = 00 < x < 0,7x = 0,70,7 < x < 1x = 11 < xfnaikf mempunyai maksimum relatiffturunfmempunyai titik belokfturunfmempunyai titik belokfturunfmempunyai titik belokfturunf mempunyai minimum relatiffnaik()f x′+000+f(x)21,201,22()f x′′0+00++2-112yx
Matematika Kelas XI - IPS SMA256Gambarkan grafik dari setiap fungsi yang diberikan.1.f(x) = x3 6.f(x) = 14x4 x32.f(x) = 2x3 6x + 1 7.f(x) =12x4 2x3 + 3x2 + 23.f(x) = (x 1)2 (x + 2) 8.f(x) = x4 8x2 + 164.f(x) = x4 2x39.f(x) = 3x5 + 5x45.f(x) = x3 + 5x2 + 3x 410.f(x) = (x + 1)3(x 2)26.5 Masalah PengoptimumanMetode yang telah kita pelajari dalam bab ini digunakan untuk mencari nilai ekstrimyang mempunyai penerapan praktis dalam banyak bidang kehidupan. Dalammemecahkan praktis tantangan terbesar adalah mengubah masalah dalam kalimatmenjadi masalah pengoptimuman matematis dengan merancang fungsi yang harusdimaksimumkan atau diminimumkan. Secara singkat, kita mempunyai tiga aktivitasutama dalam memecahkan masalah pengoptimuman, yaitu merancang modelmatematika, menyelesaikan model, dan menafsirkan penyelesaian. Berikut ini, kitarangkum langkah-langkah dalam memecahkan masalah pengotimuman.1. Memahami permasalahanBaca dengan seksama sampai paham. Tanyakan pada diri Anda sendiri: Apa yangtidak diketahui? Apa besaran yang diketahui? Apa syarat yang diberikan?2. Gambar diagramJika memungkinkan gambarkan diagram.3. Perkenalkan notasiBerikan simbol untuk besaran yang harus dimaksimumkan atau diminimum-kan (misalkan F). Pilih juga besaran-besaran yang tidak diketahui (misalkan: a, b, c,..., x, y).4. Buat persamaan F dalam simbol-simbol besaran yang tidak diketahui.5. Gunakan metode penentuan maksimum dan minimum pada bab ini.Contoh 6.5.1Diketahui y = 2x 8. Tentukan x sehingga xy minimum dan berapa besarnya.Penyelesaian:Kita subtitusikany = 2x 8 ke xy,xy = x(2x 8) = 2x2 8xBesaran yang akan kita minimumkan adalah:f(x) = xy = 2x2 8x(fungsi dari x). Selanjutnya, kita mempunyai '( )48fx x=−. Dengan Uji Turunan Pertama,'( )0fx=⇔ 4x 8 = 0⇔x = 2Latihan 6.4
257BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiTabel 6.11Dari Tabel 6.11, kita simpulkan bahwa nilai x yang menyebabkan xy minimum adalahx = 2, dan besarnya adalah f(2) = 8.WContoh 6.5.2Suatu perusahaan kotak kardus akan membuat kotak tanpa tutup dari karton berbentukpersegi yang berukuran 12 inci. Pembuatan kotak dilakukan dengan cara memotongpersegi-persegi yang ukurannya sama dari keempat sudutnya, kemudian melipat sisi-sisinya ke atas. Tentukan ukuran pemotongan agar diperoleh kotak kardus dengan isiterbesar.Penyelesian:Gambar 6.15 (a) menyatakan satu lembar karton dan Gambar 6.15 (b) menyatakan kotakyang dihasilkan dari karton tersebut. Misalkan xinci adalah sisi persegi-persegi darikeempat sudut karton. Setelah sisi-sisinya dilipat, maka terbentuk kotak dengan ukuran(12 2x) inci, (12 2x) inci,dan x inci. Perhatikan Gambar 6.15 (b). Jika V(x) inci kubikmenyatakan isi kotak, maka:V(x) = (12 2x) (12 2x) x= 144x 48x2 + 4x3Daerah asal V adalah interval tertutup [0, 6]. Mengapa?Gambar 6.15 IntervalKesimpulan()f x′x < 2x = 22 < x0+fturunf mempunyai minimum relatiffnaikf(x) 812 2x12 2xx12 2x 1212 2x12xxxxxxxx(a) (b)
Matematika Kelas XI - IPS SMA258Kita akan menentukan maksimum mutlak dari V pada interval [0,6] dengan MetodeInterval tertutup. Kita mempunyai'( )Vx = 144 96x + 12x2,'( )Vx= 0⇔ 144 96x + 12x2 = 0⇔x2 8x + 12 = 0⇔ (x 6) (x 2) = 0⇔x = 2 atau x = 6Jadi, bilangan kritis V adalah 2 dan 6. Nilai V di bilangan kritis dan di titik batas intervaladalah maksimum mutlak V terjadi di bilangan kritis atau pada batas interval,V(0) = 0,V(2) = 128,V(6) = 0Jadi, pemotongan sudut karton sepanjang 2 inci, akan memberikan volume kotak kardusmaksimum sebesar 128 inci kubik.WKerjakan Contoh 6.5.2 apabila dibuat kotak dengan tutup. Diskusikan dalamkelompok Anda.Contoh 6.5.3Lapangan berbentuk empat persegi panjang yang terbentang di tepi jalan raya, hendakdipagari tetapi sepanjang tepi jalan tidak ikut dipagari. Harga material untuk pagarpada sisi yang sejajar dengan jalan adalah Rp120.000 per meter, dan harga material untukpagar kedua sisi lainnya adalah Rp80.000 per meter. Tentukan ukuran lapangan yangluasnya terbesar yang dapat dipagari dengan pagar seharga Rp36.000.000.Penyelesaian:Misalkan xmeter adalah panjang sisi lapangan yang tegak lurus dengan jalan, y meteradalah panjang sisi lapangan yang sejajar jalan, dan A m2 luas lapangan, perhatikanGambar 6.16, maka A = xy.Gambar 6.16Tugas Kelompokjalan rayaxxy
259BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik FungsiHarga material untuk sisi lapangan yang tegak lurus jalan adalah Rp80.000 per meter.Karena panjangnya x meter, maka harga material untuk satu sisi tersebut adalah 80.000xrupiah. Harga material untuk sisi ketiga adalah 120.000y rupiah. Diketahui total biayaadalah Rp36.000.000, maka:80.000x + 80.000x + 120.000y = 36.000.000atau4x + 3y = 900Kita nyatakan y dalam x, y = 43003x−, kemudian kita subtitusikan ke dalam A, A = A(x) = 4(300)3xx−= 243003xx−Kita terapkan uji turunan pertama, 8'( )3003Axx=−'( )0Ax=⇔830003x−=⇔x = 112,5Untuk x = 112,5 akan menghasilkan y = 4300(112, 5)3−⋅ = 150. Substitusi kedua harga inike dalam A, memberikan A = (112,5)(150) = 16.875 m2Jadi, luas terbesar yang dapat dipagari dengan harga Rp36.000.000 adalah 16.875m2,yang diperoleh apabila sisi lapangan yang sejajar jalan 150 m dan panjang masing-masingsisi yang lain adalah 112,5 m.Untuk mengakhiri bab, kita tinjau kembali masalah pemasangan kabel telepon diantara dua gedung yang berseberangan pada tepi danau, yang disampaikan pada awalbab.Contoh 6.5.4Titik A d an B adalah dua titik yang berhadapan pada masing-masing tepi danau yanglurus dengan lebar 3 km. Titik C terletak di tepi danau di mana B terletak dan jauhnya 6km dari B. Perusahaan telekomunikasi ingin memasang kabel dari A ke C. Jika biayapemasangan kabel per kilometer di bawah air 25 % lebih mahal daripada pemasangankabel di daratan, bagaimanakah cara pemasangan kabel yang termurah untuk perusahaantersebut?Penyelesian:Dari informasi yang diberikan, kita awali dengan menempatkan titik P yang terletak diantara B dan C, sehingga kabel dipasang dari A ke P dan dari P ke C. Misalkan jarak B keP adalah xkm, maka jarak P ke C adalah (6 x) km, [0, 6]x∈. Kita sederhanakan sketsadari Gambar 6.1 menjadi Gambar 6.17.Kita akan menentukan x, yaitu posisi P, sehingga C(x) minimum. Karena daerah asalC(x) interval tertutup, kita dapat menggunakan Metode Interval Tertutup. Faktanya,fungsi C(x) kontinu pada [0, 6], sehingga minimumnya ada.
Matematika Kelas XI - IPS SMA260Tugas MandiriKita mempunyai25'( )49kxCxkx=−+Gambar 6.17Dengan menyelesaikan '( )0Cx= untuk x diperoleh:25049kxkx−=+⇔2549xx=+⇔222516(9)xx=+⇔216x=⇔4x=±Tetapi 4 bukan akar penyelesaian, sehingga bilangan kritis untuk C(x) pada interval [0,6] adalah 4. Nilai C(x) di bilangan kritis dan titik batas interval adalah:C(0) = 394k, C(4) = 334k,danC(6) = 1545kTampak bahwa minimum mutlak dari C(x) pada interval [0, 6] adalah 334k, yang terjadiuntuk x = 4. Jadi, agar biaya pemasangan kabel minimum, maka kabel harus dipasangdari A ke P di bawah air dahulu, kemudian dari P ke C di daratan, dengan biaya 33k/4juta rupiah, dengan k suatu konstanta.WUntuk menambah wawasan Anda tentang nilai ekstrim fungsi dan aplikasinya lebihlanjut, kunjungilah: http://en.wikipedia.org/wiki/maxima and minimaABC3 kmx km(6 x) kmP+223x
261BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik Fungsi1. Hasil kali dua bilangan positif adalah 16. Tentukan bilangan-bilangan itu, jika:a. jumlahnya minimumb. jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua minimum2. Persegi panjang mana yang mempunyai luas terbesar, jika kelilingnya 100 cm? Berapa cm2luasnya yang maksimum?3. Luas daerah persegi panjang ialah 48 cm2.a. Jika panjang salah satu sisinya x cm, tulislah kelilingnya dalam x.b. Tentukan ukuran persegi panjang itu sehingga kelilingnya minimum.4. Sehelai karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 inci dan panjang 8 inci. Padakeempat sudut karton itu dipotong persegi yang sisinya x inci. Dari bangun yang diperoleh,dibuat kotak tanpa tutup yang tingginya xinci. Tentukan ukuran kotak agar isinyamaksimum.5. Seorang pengusaha ingin membuat kaleng berbentuk tabung yang isinya 1.000 cm3. Kalengitu akan dibuat demikian hingga luasnya paling kecil. Tentukan jari-jari dan tinggi kalengitu, apabila:a. kaleng itu tanpa tutupb. kaleng itu dengan tutup6. Suatu kotak tanpa tutup, alasnya berbentuk persegi yang sisinya x cm. Isi kotak itu 64 cm3.a. Tulislah tingginya dalam x.b. Jika luas permukaannya L, nyatakan L dalam x.c. Tentukanlah ukuran kotak itu agar bahan yang dibuat sedikit mungkin.7. Sebuah lapangan persegi panjang yang luasnya 2.700 m2 akan dipagari sekelilingnya danpagar tambahan akan digunakan untuk membagi lapangan di tengah-tengahnya. Biayapagar di tengah-tengah lapangan adalah Rp120.000,00 per meter dan di sepanjang sisinyaadalah Rp180.000,00 per meter. Tentukan ukuran lapangan sehingga biaya pagar sekecilmungkin.8. Sebuah karton untuk poster memuat 32 inci2 daerah yang dicetak dengan batas (bebascetak) 2 inci di atas dan di bawah serta 4/3 inci di sisi-sisinya. Tentukan ukuran kotakterkecil yang dapat digunakan untuk membuat poster.9. Titik A merupakan suatu pulau yang terletak 6 km dari titik terdekat B pada pantai yanglurus. Seorang turis asing di pulau tersebut bermaksud pergi ke titik C di pantai yangjaraknya 9 km dari B. Turis tersebut dapat menggunakan perahu dengan sewa Rp15.000,00per kilometer dan pergi ke suatu titik P di antara B dan C. Kemudian dari P menuju C, diamenyewa mobil beserta supirnya dengan sewa Rp12.000,00 per kilometer. Tentukan ruteperjalanan yang paling murah dari titik A ke titik C .Latihan 6.5
Matematika Kelas XI - IPS SMA262Rangkuman1. Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan pada interval tertutup [a, b].a. Jika '()0fx> untuk setiap xdi dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].b. Jika '()0fx< untuk setiap x di dalam (a, b), maka f turun pada [a,b].2. Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka dan c anggota interval.a. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c, jika terdapat intervalterbuka yang memuat c, sehingga() ()fcfx≥ untuk x dalam interval tersebut.b. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c, jika terdapat intervalterbuka yang memuat c, sehingga() ()fcfx≤untuk x dalam interval tersebut.c. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di c,dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c.3. Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval tertutup dan c anggota interval.a. Jika () ()fcfx≥untuk semua xdalam interval , maka f(c) disebut nilai maksimummutlak dari f pada interval tersebut.b. Jika () ()fcfx≤untuk semua x dalam interval , maka f(c) disebut nilai minimummutlak dari f pada interval tersebut.c. Jika f(c) maksimum mutlak atau minimum mutlak, maka f(c) disebut nilai ekstrimmutlak dari f.4. Jika '()0fc=, maka fungsi f dikatakan stasioner di c. Nilai f(c) disebut nilai stasionerdari f. Titik (c, f(c)) disebut titik stasioner dari f.5. Jika fterdefinisi pada (a, b) dan mempunyai ekstrim relatif di c, a < c < b,maka'()0fc= atau '()fctidak ada.6. Bilangan c di dalam daerah asal fsehingga '()0fc= atau '()fc tidak ada kita sebutsebagai bilangan kritis.7.Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Relatif. Misalkan f mempunyai turunan disekitar c, kecuali mungkin di c sendiri.a. Jika '()0fx>untuk x < c, dan '()0fx< untuk c < x, maka fungsi f mempunyainilai maksimum relatif di c.b. Jika '()0fx< untuk x < c, dan '()0fx>untuk c < x, maka fungsi f mempunyainilai minimum relatif di c.8.Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Relatif. Misalkan f mempunyai turunan padainterval terbuka yang memuat c dan '()0fc=.a. Jika ''()0fc<, maka fmempunyai nilai maksimum relatif di c.b. Jika ''()0fc>, maka f mempunyai nilai minimum relatif di c.9.Teorema Nilai Ekstrim. Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], maka f mencapainilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a, b].
263BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik Fungsi10.Metode Interval Tertutup. Untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlaksuatu fungsi kontinu f pada interval tertutup [a, b]:(1) Carilah nilai fdi bilangan kritis fdi dalam (a, b).(2) Carilah nilai fdi titik batas interval.(3) Bandingkan nilai-nilai pada langkah (1) dan (2), yang terbesar adalah nilaimaksimum mutlak; yang terkecil adalah nilai minimum mutlak.Pakar ilmu burung telah menetapkanbahwa beberapa jenis burungcenderung menghindari terbangmelintasi genangan air luas selamasiang hari. Dipercaya bahwa lebihbanyak energi diperlukan untukterbang melintasi air daripada tanahkarena secara umum udara naik diatas tanah dan turun di atas air selamasiang hari. Hal ini menunjukkanbahwa burung secara naluriahmemilih jalur yang akanmeminimumkan pengeluaran energi.Math InfoGambar 6.18 Burung TerbangSumber: j bmain_indonesian.cri.cn-
Matematika Kelas XI - IPS SMA264I. PETUNJUKUntuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat!1. Pada interval 12x−≤ ≤, fungsi 3233yx x=− + mempunyai nilai maksi-mum
.A. 6D. 6B. 1E. 8C. 32. Jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah 75. Nilaiterbesar dari hasil kali kedua bilangan tersebut adalah ... .A. 50D. 250B. 7 5E. 3 50C. 1753. Jarak terpendek titik (4, 2) ke kurva parabola 28yx= adalah ... .A.2D.22B.32E.32C.34. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x haridengan biaya proyek per hari 1203900xx−+⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ratus ribu rupiah. Agar biayaproyek minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu ... hari.A. 40D. 120B. 60E. 150C.905. Jika nilai maksimum fungsi 2yx p x=+ − adalah 4, maka p =
.A. 8D. 4B. 7E. 3C. 56. Persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan membentuk segitiga di kuadranpertama dengan luas terkecil adalah ... .A.323(2)yx−= −D.233(2)yx−=− −B.323(2)yx−=− −E.133(2)yx−=− −C.233(2)yx−= −7. Jika nilai stasioner dari 32()1fx x px px=− −− adalah x = p, maka nilaip adalah
.A.0 atau 1D. 1B.0 atau 1/ 5E. 1/ 5C.0 atau 1Uji Kompetensi
265BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik Fungsi8. Pertumbuhan pendapatan suatu perusahaan setelah t tahun mengikutifungsi:2313() 120 5 3stt tt=+−+Laju pertumbuhan tertinggi perusahaan dicapai setelah waktu t = ... .A. 1D. 4B. 2E. 5C. 39. Titik belok dari fungsi 32()69 7fx xxx=+ ++ adalah ... .A. (2, 3)D. (2, 10)B. (2, 7)E. (2, 5)C. (2, 5)10. Kurva 32697yx x x=+ −+ naik untuk nilai-nilai x
.A. 0x>D.3x<− atau 1x>B. 31x−< <E.1x<− atau 3x>C. 13x−< <11. Kurva 3229245yx x x=+−+ turun untuk nilai-nilai x
.A. 14x−< <D.4x<− atau 1x>B.14x<<0x>E.1x<− atau 4x>C. 41x−< <12. Grafik fungsi 32()fx x ax bx c=+ ++ turun pada interval 13x−< <. Jika nilaimaksimum dari f(x) adalah 15, maka nilai minimumnya adalah ... .A. 24D. 10B. 20E. 2C. 1713. Sebuah kerucut mempunyai jari-jari r dan tinggi t. Jika r + t = 9, maka volumemaksimum kerucut tersebut adalah ... .A. 24πD. 36πB. 27πE. 42πC. 33π14. Dua bilangan, a dan b, memenuhi a 2b = 50. Nilai minimum dari 22ab−adalah ... .A. 300D. 600B. 400E. 700C. 50015. Jika 1x dan 2x merupakan akar persamaan kuadrat 2(1)0xaxa−− +=, makanilai stasioner dari 3311223xxxx++ dicapai untuk a = ... .A. 1 dan 2D. 1 dan 2B. 1 dan 3E. 1 dan 2C. 3 dan 2
Matematika Kelas XI - IPS SMA266II. PETUNJUKUntuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan singkatdan jelas!16. Dalam suatu monopoli, persamaan permintaan suatu barang tertentu adalah()211008px=−, dengan p juta menyatakan harga x barang dengan [0, 800]x∈.Biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk memproduksi x satuan diberikanoleh 21100() 18Cxxx=−.a. Tentukan fungsi pendapatan marginal dan fungsi biaya marginal.b. Tentukan nilai x yang menghasilkan keuntungan maksimum.17. Diketahui fungsi 32() 2924 5fxxxx=+−+.Tentukan:a. interval di mana grafik f naik dan turunb. maksimum relatif dan minimum relatifc. titik belok grafik y = f(x)d. gambarkan grafik y = f(x)18. Biaya untuk memproduksi x unit barang per hari adalah3220003000000 )(xxx−+ rupiah. Jika barang itu harus diproduksi, berapakahbiaya paling rendah untuk per unit?19. Carilah dua bilangan bulat positif sehingga jumlahnya 12 dengan hasil kalikeduanya sebesar mungkin.20. Tentukan nilai maksimum mutlak dan nilai minimum mutlak dari2()1xfxx=+ pada [0, 2].
267BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik Fungsi1. Paket yang dapat diterima oleh suatu perusahaan pengiriman adalah paketyang jumlah panjang dan keliling penampang tegaknya tidak melebihi 100inci. Bila paket berbentuk kotak tegak dengan penampang tegaknyaberbentuk persegi, tentukan ukuran paket yang mempunyai volume terbesaryang dapat dikirimkan oleh perusahaan pengiriman tersebut.2. Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk, A dan B. Jika biaya totalproduksi untuk 8 jam sehari adalah C juta, maka C = 3x2 + 42y, dengan xbanyaknya mesin yang digunakan untuk memproduksi produk A dan ybanyaknya mesin yang digunakan untuk memproduksi produk B. Misalkanselama 8 jam sehari terdapat 15 mesin yang bekerja. Tentukan banyaknyamesin yang harus digunakan untuk memproduksi A dan banyaknya mesinyang memproduksi B agar biaya total produksi minimum.3. Perusahaan mobil ingin menentukan harga jual terbaik untuk mobil mewahbaru. Perusahaan memperkirakan bahwa biaya awal perancangan mobil danpenyiapan pabrik tempat membangunnya menghabiskan biaya 500 miliarrupiah. Biaya tambahan pembuatan tiap mobil dapat dimodelkan oleh fungsi324( )2050, 01mxx xx=− +, dengan x adalah banyaknya mobil yangdiproduksi dan m adalah biaya pembuatan, dalam miliar rupiah. Perusahaanmemperkirakan bahwa dengan mematok harga p (dalam miliar rupiah) untuksetiap mobil, akan mampu menjual () 320 7,7xpp=− buah mobil.Tentukan tingkat produksi dan harga jual mobil yang memaksimumkankeuntungan.Soal Analisis
Matematika Kelas XI - IPS SMA268AktivitasNama :
..Tanggal :
.Kelas : XIMateri Pokok : Nilai Ekstrim dan Teknik Menggambar Grafik FungsiKelompok :
..Semester : 2 (dua)Kegiatan : Membuat kaleng silinderTujuan : Menentukan ukuran kaleng silinder yang meminimumkan bahan jika volume diketahuiA. Alat dan bahan yang digunakan1. 1 lembar karton ukuran 40× 60 cm 5. Kertas perekat2. Gunting6. Penggaris3. Meteran7. Jangka4. Alat tulisB. Cara kerja1. Buatlah kelompok dengan anggota 5 siswa.2. Gambarkan jaring-jaring kaleng silinder, seperti gambar di bawah.3. Rekatkan jaring-jaring kaleng silinder tersebut dengan kertas perekat.4. Kaleng yang diperoleh mempunyai jari-jari alas r cm dan tingi t cm.Aktivitas Proyek40 cm60 cmtr
269BAB VI ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Teknik Membuat Grafik Fungsi5. Tentukan nilai r dan t yang mungkin, jika volume kotak adalah V dan Aadalah luas jaring-jaring kaleng, lengkapi tabel berikut ini.C. Analisis1. Dari data yang Anda peroleh di atas, manakah yang memberikan luasminimum.2. Tentukan rumus volume kaleng dalam r.3. Jika volume kaleng adalah 1 liter, nyatakan A sebagai fungsi dari r.4. Apakah daerah asal fungsi A?5. Jika kaleng dimaksudkan untuk mengepak 1 liter minyak, tentukan nilair yang menyebabkan biaya pembuatan minimum.6. Manakah hasil percobaan Anda di atas yang mendekati A untuk nilai rtersebut?No.rtVA 1. 2. 3. 4. 5.
Matematika Kelas XI - IPS SMA270Seorang pelari maraton dikenaiaturan bahwa yang pertama harusdapat menyelesaikan ½ dari jarakyang harus ditempuh, langkah keduaharus menyelesaikan ½ dari sisanya,kemudian ½ dari sisanya lagi, prosesini dilanjutkan terus-menerus.Menurut aturan tersebut, maka setiappelari tidak akan dapat menyelesai-kan lomba lari tersebut karena prosesyang harus dilalui tidak akan ber-henti. Tetapi dalam kenyataannya,setiap lomba lari pasti ada yangmenjadi juara atau dapat menyelesaikannya. Berikan penjelasan terhadap masalahini.Teka-Teki MatematikaGambar 6.19Sumber: np.cpami.gov.tw
271Latihan Ulangan Umum Semester 2I. PETUNJUKUntuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 40, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat!1. Manakah dari fungsi berikut yang memenuhi sifat ()()()fx y fx fy+= +untuk setiap x dan y anggota ¡?A.2()2ft tt=+D.2()1ft t=+B.() 2 4ftt=+E.() 3ftt=C.2() 3ftt=2. Daerah hasil dari fungsi 2() 3 16fxx=+ − adalah ... .A.{|4 4}xx∈−≤≤¡D.{|4}xx∈≥¡B.{|0 4}xx∈≤≤¡E.{|3 7}xx∈≤≤¡C.{|2 2}xx∈−≤≤¡3. Manakah di antara fungsi berikut yang merupakan fungsi ganjil?A.33328xxxx+−+D.242328xxxx+−+B.342328xxxx+−+E.2338xxx++C.38xx+4. Fungsi 23()28fxx=− daerah asal alaminya adalah ... .A.{|2}xx∈≥¡D.{|2,2}xx x∈≠−≠¡B.{|2}xx∈≤−¡E.{|0 2}xx∈≤<¡C.{|2 2}xx∈−<≤¡LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER 2Mata pelajaran : MatematikaKelas: XIProgram : IPSSemester : IIWaktu: 150 menitJumlah Soal : 50Jenis Soal : Bentuk Objektif dan Bentuk Uraian
Matematika Kelas XI - IPS SMA2725. Jika 8()2fxx=+ dan 2()gx x= untuk 0x≥, maka daerah asal 1()()fg x−oadalah ... .A.{|4}xx∈≤¡D.{|0 4}xx∈<<¡B.{|0 4}xx∈≤≤¡E.{|0 4}xx∈≤<¡C.{|0 4}xx∈<≤¡6. Jika () 4 2fxx=+ dan () 3gx=, maka ()(0)gf=o... .A.0D. 6B. 3E. 10C. 47. Jika ()1fxx=+ dan 2()1gx x=−, maka ()()gfx=o... .A. xD. 2x 1B.x 1E.21x+C. x+ 18. Jika ()()12xgfx=− +o dan () 4gxx=, maka ()fx=... .A.18(2)x−+D.14(1)x−B.18(2)x−−E.14(2)x−+C.18(2)x−9. Jika 2()()247gfx x x=++o dan 2()2 1fx xx=+−, maka ()gx=... .A.21x−D.29x+B.23x−E.29x−C.23x+10. Jika 2()1fxx=+ dan 21()()452fgxx xx=−+−o, maka (3)gx−=K .A.1(5)x−D.1(3)x−B.1(1)x−E.1(3)x+C.1(1)x+11. Jika 25()32xfxx−=−, maka 1(1)f−=... .A. 11D. 7B. 2/3E. 11C. 3
273Latihan Ulangan Umum Semester 212. Jika ()(23)36gf xx+= −o dan ()4gx x=+, maka 1(8)f−=... .A. 5D. 20B. 10E. 25C. 1513. Jika 115()1)(fx x−=− dan 112()(3 )gxx−=−, maka 1()(6)fg−=o... .A. 3D. 1B. 2E. 2C. 114. Jika () 2 3fxx=+ dan 3()1gx x=+ dengan 11()()2gfa−−=o, maka a=... .A. 21D. 12B. 18E.9C. 1515. Jika 1(),0xfxxx+=≠, dan p adalah banyaknya faktor prima dari 210, maka1()fp−=... .A. 4D. 1/4B. 3E. 1/5C. 1/316.22 2282lim 224xxxxxx→−−−=−−⎛⎞⎜⎟⎝⎠... .A. 5D.9B. 6E.∞C. 817.2(3)3lim ...xaxaxaxa→+− −=− .A.aD.a + 3B.a + 1E.a + 4C.a + 218. 1221lim246xxx→−+=−+... .A. 4D. 1B. 2E. 2C.0
Matematika Kelas XI - IPS SMA27419.22131lim1xxxx→+−−=−... .A. 1/2D. 1/4B. 1/4E. 1/2C.020.3335lim 46xxxxx→∞−=+... .A. 3/4D. 5/6B. 3/4E. 1/2C. 5/621.()2lim 32925xxxx→∞−−− + =... .A. 5/6D. 7/3B. 7/3E. 5/6C. 5/322. Jika 2()fx x=, maka 3()(3)lim ...3xfx fx→−=− .A. 4/ 5D. 5/2B.0E.∞C. 2/523. Jika ()6 7fxx=+, maka nilai '(3)f adalah ... .A. 2/3D. 7/9B. 3/ 5E.9/11C. 5/724. Jika 221()xfxx−=, maka '( )fx= ... .A.232xxx+D.252xxx−B.252xxx−E.32xx−C. 223xxx+25.3302(5)2(5)lim ...hhh→+−=A.0D. 125B. 2 5E. 1 50C. 50
275Latihan Ulangan Umum Semester 226. Turunan dari 23() 5(2 1)fxxx=+− adalah ...A.215(22)x+D.2230(1)(21)xxx++−B.2215(21)xx+−E.22215(22) (21)xxx++−C.2210(1)(21)xxx++−27. Jika 423()1fxxx=++, maka'( )fx= ... .A.34283(1)xxx−++D.342283(1)xxx−++B.34283(1)xxx++E.342283(1)xxx−−+C.342283(1)xxx−+28. Persamaan garis singgung pada kurva 21(4)yx=+ di titik (1, 1/5) adalah ... .A.22570xy+−=D.25270xy++=B.22570xy++=E.25270xy+−=C.22570xy−−=29. Persamaan garis singgung pada kurva 22yxx=− di titik (1, 1) adalah ... .A. 4x y 4 = 0D. 4x + y 5 = 0B. 4x y 5 = 0E. 4x y 3 = 0C. 4x + y 4 = 030. Persamaan garis singgung pada kurva 245yx x=+− yang sejajar dengangaris y = 2x+ 3 adalah ... .A.y 2x 10 = 0D.y 2x + 8 = 0B.y 2x+ 6 = 0E.y 2x+ 12 = 0C.y 2x + 2 = 031. Pada interval 12x−≤ ≤, fungsi 32()33fx xx=− + mempunyai nilaimaksimum
.A. 6D. 6B. 1E. 8C. 332. Grafik fungsi 3216()3fxxx=− naik untuk xyang memenuhi ... .A. 16x<<D.0x< atau12x>B.112x<<E.1x< atau6x>C.66x−< <
Matematika Kelas XI - IPS SMA27633. Jika kurva 542520yx x=−+ mencapai nilai minimum di titik (a, b), makaa = ... .A. 1D. 2B.0E. 3C. 134. Jika 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan 20xkxk++=, maka 2212xx+mencapai minimum untuk k = ... .A. 1D. 1B.0E. 2C. 1/235. Jika 3() (1 2)fxx=−, maka grafik cekung ke atas untuk ... .A.1/ 2x<D.01/2x<<B.1/ 2x>E.0x>C.0x<36. Jika 132 3(4)yx x−=+, maka ...dy dx= .A.235343(4)xxx−+D.235313(4)xx−−+B.235343(4)xxx−+E.235359(4)xx−−+C.235323(4)xxx−+37. Titik belok dari grafik fungsi 32697yx x x=+ ++ adalah
.A. (2, 3)D. (2, 10)B. (2, 7)E. (2, 5)C. (2, 5)38. Suatu karton berbentuk persegi dengan sisi a cm akan dibuat kotak tanpatutup dengan cara menggunting keempat pojoknya sebesar hcm. Volumekotak maksimum untuk h = ... .A.12a atau 16aD.18aB.13aE.16aC.14a
277Latihan Ulangan Umum Semester 239. Jika biaya untuk memproduksi dan menjual n satuan barang per mingguadalah 2( ) 1001.200Cnn=+ ribu rupiah, maka biaya marginal untukmemproduksi 900 satuan per minggu adalah ... rupiah.A. 1.500D. 6.000B. 1.200E.9.000C. 3.00040. Dalam memproduksi dan menjual xsatuan komoditi tertentu, fungsi hargap dan fungsi biaya C (dalam ribuan rupiah) adalah ( )5 0, 002pxx=− dan() 3 1,1Cxx=+. Tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimumadalah ... satuan.A. 79 5D.975B. 597E.957C. 759II. PETUNJUKUntuk soal nomor 41 sampai dengan nomor 50, kerjakan dengan singkatdan jelas!41. Jika f mempunyai turunan di c, dengan 0c>, hitunglah limit dalam bentuk'( )fc:()()limxcfx fcxc→−−42. Hitunglah nilai dari 022limxxxx→+−−.43. Biaya operasi sebuah truk adalah (254x+) ribu rupiah per kilometer, apabilatruk melaju dengan x km/jam. Sebagai tambahan pengemudi memperolehRp12.000,00 per jam. Berapa laju paling ekonomis untuk mengoperasikantruk pada jarak tempuh 400 km, apabila laju jalan raya harus di antara 40dan 55 kilometer tiap jam?44. Tentukan titik pada kurva 334yx x=−+ dan 23()yxx=− yang mempunyaigaris singgung bersama.45. Tentukan nilai a dan b sehingga (1, 6) adalah titik belok dari grafik fungsi:32()1fx x ax bx=+ ++46. Misalkan diketahui bahwa f (2) = 3, '( 2)4f=, ''( 2)1f=−, g(2) = 2, dan'( 2)5g=. Carilah tiap nilai berikut.a.23[() ()]dfx gxdx+ di x = 2
Matematika Kelas XI - IPS SMA278b.[()()]dfxgxdx di x = 2c.[(())]dfgxdx di x = 247. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari, dengan biaya proyek per hari⎛⎞⎜⎟⎝⎠+−1.500280xx ribu rupiah. Berapakah biaya minimum dari proyek itu?48. Misalkan ()2fxx=− dengan 1gf−=.a. Tentukan g dengan daerah asal dan daerah hasilnya.b. Tentukan '( )gx.c. Nyatakan '( )gx dalam '( )fx.49. Carilah dua bilangan bulat positif sehingga jumlah bilangan pertama denganempat kali bilangan kedua adalah 1.000 dan hasil kali bilangan tersebutsebesar mungkin.50. Untuk fungsi harga 12( )(18236)pxx=−, carilah banyaknya satuan x yangmemaksimumkan pendapatan total.
Daftar Pustaka279Daftar PustakaAbdul Kodir, et al. 1979. Matematikauntuk SMA, Jilid 8sdan12. Jakarta: Departemen Pendidikandan Kebudayaan.Alders, C. J. 1962. Ilmu Ukur Segitiga. Diterjemahkan oleh Bahar Azis. Jakarta: Noor Komalad/h Noordhoff-Kolff, N. V.Alders, C. J. 1974. Ilmu Aljabar. Diterjemahkan oleh Bahar Azis. Jakarta: Pradnya Paramita.Anto Dayan. 1991. Pengantar Metode Statistik. Jilid 1. Jakarta: LP3ES.Ayres, F., Jr. 1957. First Year College Mathematics. Schaums Outilne Series. New York: McGraw-Hill Book Company.Ayres, F., Jr. 1964. Calculus. Schaums Outilne Series. New York: McGraw-Hill BookCompany.Ayres, F., Jr. 1965. Modern Algebra. Schaums Outilne Series. New York: McGraw-Hill BookCompany.Bob Foster. 2006. 1001 PlusSoal dan Pembahasan Matematika untuk SPMB. Jakarta: Erlangga.Budi Nurochman. 2005. Teori Ringkas dan Latihan Soal Pembahasan Matematika SMA. Yogyakarta:Intersolusi Pressindo dan Pustaka Pelajar.Coleman, A. J. dkk. 1979. Algebra, Second Edition. Toronto: Gage Publishing Limited.Departemen Pendidikan Nasional. 2007. Kurikulum Mata Pelajaran Matematikauntuk SekolahMenengah Atas.Hogg Robert, V dan Craig Allen, T. 1978. Introduction to Mathematical Statistics. New York:Macmillan Publishing Co. Inc.Leithold, L. 1986. The Calkulus with Analytic Geometry, 5th. Harper & Row, Publishers, Inc.Lipschutz, S. 1974. Theory and Problems of Probability, Schaums Outline Series. Singapura:McGraw-Hill Internasional Book Company.Lipschutz, S. 1981. Set Theory, Schaums Outline Series. Singapura: McGraw-Hill InternasionalBook Company.Lipschutz, S. 1983. Finite Mathematics, Schaums Outline Series. Singapura: McGraw-HillInternasional Book Company.Nasoetion, Andi Hakim. 1982. Landasan Matematika. Jakarta: Bharata karya Aksara.
Matematika Kelas XI - IPS SMA280Nasoetion, Andi Hakim. 1994. Matematika1. Jakarta: Balai Pustaka.Negoro, ST. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia.Philip, H. (1991). Maths Exercises for GCSE. London: Thomas Nelson & Sosns Ltd.Pinter, C. C. 1970. Set Theory. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company.Purcell, E. J, dkk. 2003. Kalkulus. Jilid 1. Alih Bahasa: I Nyoman Susila, Ph.D. Jakarta: Erlangga.Spiegel, M. R. 1981. Statistics, Schaums Outline Series. Singapura: McGraw-Hill InternasionalBook Company.Spiegel, M. R. 1982. Probability and Statistics, Schaums Outline Series. Singapura: McGraw-Hill Internasional Book Company.Stewart, J. 1998. Kalkulus, Edisi Keempat. Alih Bahasa: Drs. I Nyoman Susila, M.Sc dan HendraGunawan, Ph.D. Jakarta: Erlangga.Soerjadi PA. 1983. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung: ITB.Sudjana. 1984. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito.Wijdeness, P. dkk. (tt). Ilmu Aljabar buat Sekolah Menengah, Jilid II. Jakarta: Noordhoff-KoolffN. V.
Glosarium281Glosariumabsis: bilangan pertama dari pasangan berurutan pada sistem koordinatCartesius.akar: akar pangkat n dari suatu bilangan (n bilangan asli) adalah suatu bilanganyang bila dipangkatkan n menghasilkan bilangan yang ditarik akarnyatersebut. Secara matematika akar pangkat n dari bilangan a adalahbilangan x sedemikian hingga xn = a.asimtot: asimtot suatu garis lengkung adalah garis yang tidak pernah dipotongoleh garis.data: sesuatu yang diketahui atau dianggap.data kualitatif: data yang tidak berbentuk angka.data kuantitatif: data dalam bentuk angka.derajat: satuan ukuran sudut, tekanan udara, dan suhu.desil: ukuran yang membagi sekelompok nilai menjadi 10 bagian yang sama.diagram: gambar yang menyajikan data tentang sesuatu masalah.diagram lingkaran: diagram yang menggunakan daerah lingkaran untuk menggambarkansuatu keadaan.diameter: garis tengah lingkaran atau ruas garis yang melalui titik pusat suatulingkaran.dispersi: ukuran jauh dekatnya nilai pengamatan dari rata-rata hitungnya.frekuensi: banyaknya nilai muncul.frekuensi nisbi atau relatif : terkaan tentang seringnya suatu data muncul.frekuensi kumulatif : frekuensi yang dijumlahkan.fungsi: fungsi merupakan relasi khusus. Sering disebut juga Relasi fungsional.Karena itu tidak semua relasi merupakan fungsi. Suatu relasi antara Adan B disebut fungsi apabila setiap unsur (anggota) himpunan Adipasangkan tepat satu unsur (anggota) himpunan B.fungsi ganjil: fungsi f dikatakan ganjil jika berlaku hubungan f(x) = f(x).fungsi genap: fungsi f dikatakan genap jika berlaku hubungan f(x) = f(x).fungsi identitas: suatu fungsi I yang dinyatakan dengan rumus I(x) = x.fungsi invers: bila f fungsi dari A ke B yang merupakan korespondensi satu-satu, makaada fungsi f-1dari B ke A sehingga 11--=o f=If o f f, I fungsi identitas.Fungsi 1-fini disebut fungsi invers dari f.fungsi konstan: suatu fungsi f yang dinyatakan dengan rumus f(x) = a, dengan a suatukonstanta.fungsi kuadrat: fungsi f dalam R yang didefinisikan dengan 2f(x)=ax +bx+c,dengana, b, dan c∈ R, 0a≠.fungsi kubik: fungsi yang peubah bebasnya berpangkat tiga.fungsi linear: fungsi f yang dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, a dan b konstanta,dan a≠0.fungsi onto: bila A dan B himpunan-himpunan, maka pemetaan A kepada B adalahfungsi onto, yaitu memasangkan setiap anggota A kepada anggota B, di manasetiap anggota B merupakan bayangan dari sedikitnya satu anggota A.fungsi satu-satu: fungsi:fA B→ adalah satu-satu, jika a1, a2∈ A dengan a1≠a2makaf(a1)≠f(a2).gradien: koefisien arah suatu garis lurus.grafik: gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupa angka yangbiasanya juga berasal dari tabel-tabel yang telah dibuat.
Matematika Kelas XI - IPS SMA282histogram: jenis grafik batangan yang khusus untuk penyajian data yang merupakantabel distribusi frekuensi.himpunan: disebut juga kumpulan, kelompok, gugus, atau set.invers fungsi: invers fungsi f adalah relasi r sedemikian hingga −=o1ffI, dengan Ifungsi identitas.jangkauan: ukuran tertinggi dikurangi ukuran terendah.jari-jari lingkaran: jarak dari pusat lingkaran ke sembarang titik pada lingkaran.juring: daerah yang dibatasi oleh 2 jari-jari dan satu busur pada suatu lingkaran.kejadian: kumpulan dari satu atau lebih hasil dari sebuah eksperimen.kejadian saling bebas : terjadinya dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.kombinasi: susunan dari beberapa elemen di mana urutan tidak diperhatikan.koordinat: koordinat Cartesius terdiri atas absis dan ordinat. Absis diwakili olehtitik-titik di sumbu-x, dan ordinat diwakili oleh titik-titik di sumbu-y.kuartil: ukuran yang membagi sekelompok nilai menjadi empat bagian yangsama.lingkaran: kurva tertutup sederhana yang khusus. Tiap titik pada lingkaran itumempunyai jarak yang sama dari suatu titik yang disebut pusat lingkaran.limit: nilai pendekatan, →∞lim ( )nfn = L mempunyai arti nilai f(n) mendekati Lapabila n membesar tak terbatas.mean: jumlah semua ukuran yang diamati dibagi oleh banyaknya ukuran.median: nilai yang ada di tengah-tengah sekelompok data, jika nilai-nilai tersebutdiurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.modus: nilai dari sekelompok data yang mempunyai frekuensi tertinggi atau nilaiyang paling banyak terjadi (muncul) dalam suatu kelompok nilai.nilai ekstrim:nilai maksimum atau nilai minimum. Nilai ekstrim ditemukan dalamfungsi nonlinear, misalnya dalam fungsi kuadrat dan fungsi trigonometri.nilai maksimum: nilai tertinggi.nilai minimum: nilai terendah.ordinat: titik-titik yang dikorespondensikan dengan bilangan-bilangan di sumbu-y pada sistem koordinat Cartesius.peubah: disebut juga variabel.pencerminan: adalah pencerminan dalam arti geometri. Pencerminan disebut jugarefleksi, menggambarkan bayangan cermin suatu bangun.permutasi: suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau objek di mana urutanitu penting.persentil: ukuran yang membagi sekelompok nilai menjadi 100 bagian yang sama.poligon: grafik garis yang diperoleh dengan menghubungkan titik tengah darisetiap batangan pada histogram.populasi: kumpulan seluruh elemen yang sejenis tetapi dapat dibedakan satu sama lain.produk Cartesius: hasil kali dari dua himpunan, dinyatakan dengan X.range: range dalam statistik disebut jangkauan ialah selisih antara data tertinggidengan data terendah.relasi: hubungan. Dua himpunan yang berbeda mungkin mempunyaihubungan. Hubungan (relasi) itu diperlihatkan oleh masing-masinganggota kedua himpunan itu.sampel: bagian dari populasi.simpangan baku: akar kuadrat positif dari variansi.statistik (statistika): nilai yang diperoleh dari sampel.tabel: kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori-kategorisehingga memudahkan untuk pembuatan analisis data.variabel: karakteristik yang menunjukkan variasi atau sesuatu yang nilainyaberubah-ubah.variansi: rata-rata hitung dari kuadrat simpangan setiap pengamatan terhadaprata-rata hitungnya.volume: ukuran bangun ruang.
Indeks283IndeksAabsis 231, 234Agustin Louis Cauchy 170akar 124, 132, 170, 180, 191, 192, 258, 263, 274aturan pencacahan 64aturan penjumlahan 69, 107aturan perkalian 63, 66, 67, 68, 69, 76, 79,107aturan rantai 201, 215, 216,226Bbatas atas kelas 16batas atas nyata 16batas bawah kelas 16, 17bayangan 128, 161bentuk tak tentu 169, 182biaya marginal 188, 220, 221, 251, 264, 275bidang Cartesius 126, 130, 133, 134, 140, 141Blaise Pascal 64, 108bridge 85, 96, 98, 101, 105, 113Ccekung ke atas 242, 243, 244, 245, 246, 247, 274cekung ke bawah 242, 243, 244, 245, 246, 247Ddaerah asal 130, 131, 140, 141, 146, 147daerah asal alami 132, 134daerah hasil 126, 128, 130, 131, 133, 134, 140, 141, 143,154, 155, 161, 162, 164, 165daerah kawan 126, 127, 128, 129, 133, 143, 145, 161daftar 5, 22, 62, 83data 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35,36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 50, 51, 52, 54,55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 102, 106, 111, 113, 115, 116,117, 118, 121, 145, 155, 168, 232data cacahan 3, 4, 5data konsisten 51, 116data kuantitatif 3, 4, 5, 44data pencilan 47, 52data ukuran 3, 4, 5desil 39diagram 1, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 48, 49, 50, 52,53, 54, 55, 56, 57, 58, 65, 69, 80, 92, 95, 97, 126, 127,128, 129, 133, 142, 143, 144, 148, 151, 154, 155, 156,157diagram batang 1, 7, 8, 11, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58diagram batang-daun 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58diagram garis 1, 7, 10, 11, 12, 13, 21diagram kotak-garis 48, 49, 50, 51, 52diagram lingkaran 1, 7, 8, 9, 10, 11diagram pohon 65, 69, 80diferensiasi 208, 215dispersi 43domain 126, 128, 161Eekonomi 13, 41, 64, 141, 202, 220ekstrapolasi linear 11ekstrim 32, 45FFermat 64, 108fisika 202, 227frekuensi 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24,27, 28, 31, 33, 38, 39, 40, 55, 58, 60, 62frekuensi kumulatif 18, 19, 20, 21, 22, 24, 33, 38, 39,40, 55, 58, 62frekuensi kumulatif relatif 19, 20, 24fungsi 123, 124, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134,135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145,146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156,157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167,168, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 210, 211,213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223,224, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232fungsi aljabar 201, 208fungsi biaya 147, 220, 221, 222, 230, 231
Matematika Kelas XI - IPS SMA284fungsi bijektif 144, 145, 146, 157, 162fungsi ganjil 134, 140, 141, 150, 161fungsi genap 134, 140, 141, 150, 161fungsi harga 141fungsi identitas 134, 135, 156, 161fungsi invers 123, 156, 157, 160, 162, 164, 165, 167fungsi komposisi 123, 149, 155, 159, 201, 215, 226fungsi konstan 134, 161, 208fungsi kuadrat 134, 136, 161fungsi linear 134, 136, 161fungsi mutlak 138, 161fungsi pada 133, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 156, 161fungsi permintaan 141, 167, 168, 231fungsi satu-satu 142, 143, 144, 145, 146, 156, 161fungsi tangga 134, 161Ggaris normal 225garis singgung 201, 202, 222, 223, 224, 225, 226, 229,230geometri 202, 222, 227Gottfried Wilhelm Leibniz 205, 227gradien 222grafik 5, 7, 8, 13, 20, 123, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131,134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 164, 205, 206,207, 223, 232grafik Cartesius 125, 126, 127, 129, 130Hhamparan 46, 47, 48, 49himpunan 2, 3, 124, 125, 126, 127, 128, 130, 132, 133,134, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 148, 150, 152,161, 162histogram 1, 20, 21, 24, 25, 62Iinjektif 142, 161interpolasi linear 11, 37, 39invers fungsi 123, 155, 156, 159, 168Isaac Newton 227Kkelas interval 15, 16, 17, 18, 20, 23, 24, 29, 31, 33, 34, 38,39, 40, 60kemiringan 11kodomain 126, 128, 161komposisi fungsi 148, 149, 152, 153, 154kuartil 1, 36, 37, 39, 41, 44, 46, 48, 49, 50, 55, 56, 62kuartil atas 36, 41kuartil bawah 36, 41, 55kuartil kedua 36, 37, 50kuartil ketiga 36, 37, 50kuartil pertama 36, 37kuartil tengah 36, 41Llaptop 4lebar kelas 16limit bentuk tak tentu 182limit di tak hingga 188limit fungsi 169, 170, 177, 180, 185, 188, 194, 202, 200,232, 234limit kanan 175, 194, 206limit kiri 174, 194, 206limit satu sisi 174Mmaksimum 170, 187, 199, 202, 220, 222, 231, 238, 239,240, 241, 245, 246, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254,256, 259, 260, 262, 263, 264, 265, 273, 274, 275, 276maksimum mutlak 248, 249, 256, 260, 264maksimum relatif 238, 239, 240, 241, 245, 246, 252,253, 259, 260marginal 221, 238, 251, 264, 275median 115, 116, 121metode interval tertutup 249, 250, 256, 257, 260minimum mutlak 248, 249, 258, 260, 264minimum relatif 238, 239, 240, 241, 245, 246, 252, 253,259, 260, 264model matematika 233, 254Nnilai ekstrim 188, 233, 238, 248, 249, 250, 251, 254, 260,266nilai maksimum 238, 240, 241, 245, 248, 249, 259, 260,262, 263, 264, 273nilai minimum 238, 240, 241, 245, 248, 249, 259, 260,263, 264, 274notasi lain 205
Indeks285Oogive 121onto 64, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 83,85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 93, 96, 97, 98, 99, 100, 104,170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 180, 181, 182,183, 184, 186, 190, 191, 203, 204, 205, 206, 207, 209,210, 211, 212, 214, 215, 216, 217, 219, 220, 223, 224,236, 238, 240, 241, 243, 244, 245, 249, 250, 251, 252,254, 255, 256, 257ordinat 223, 224, 225, 230Pparabola 262peluang 63, 64, 82, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95,96, 97, 98, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108,110, 111, 112, 113, 119, 120, 121, 122peluang klasik 86, 89pembagi 64, 180, 182pemilihan tanpa pemulihan 69percobaan 35, 63, 64, 65, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91,92, 93, 95, 97, 98, 99, 103, 107, 112, 113, 267permutasi 63, 65, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 80, 81,107permutasi berulang 69, 75, 76permutasi siklis 69, 74, 75, 81permutasi sirkuler 75peta 128, 143, 150, 161peubah 169, 188, 202, 203, 233poligon frekuensi kumulatif 21populasi 3, 4, 5, 231, 232prapeta 128, 161produk Cartesius 124, 125, 161produksi 5, 105, 124, 159, 161, 167, 170, 186, 187, 188,199, 202, 220, 221, 222, 231, 238, 247, 251, 264, 265,275Rragam 58, 117range 45, 126, 128, 161rataan 1, 2, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42,43, 44, 47, 58, 59, 60, 61, 115, 116, 117, 118, 121rataan hitung 25rataan sementara 29, 30, 118rataan simpangan 58, 59, 60, 61, 118relasi 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 133, 143, 145,155, 156, 161Renatus Cartesius 125Rene Descartes 125rentang 1, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 61, 116rentang antar-kuartil 46, 49rerata laju perubahan 186, 187, 188ruang contoh 83ruang sampel 63, 82, 83, 84, 85, 86, 89, 90, 92, 93, 95,96, 97, 99, 103, 104, 107Ssampel 3, 4, 5, 63, 82, 83, 84, 85, 86, 89, 90, 92, 93, 95, 96,97, 99, 103, 104, 107semi kuartil 46simpangan 1, 29, 46, 44, 47, 48, 58, 59, 60, 61, 62, 116,118simpangan baku 1, 58, 61, 62simpangan kuartil 1, 44, 46, 48, 116simpangan rataan 29stasioner 233, 239, 241, 245, 246, 260, 262, 263statistik 2, 3, 4, 14, 20, 25, 31, 36, 43, 42, 45, 62statistik maksimum 45, 62statistik minimum 45, 62statistika 2, 3, 4, 62statistika deskriptif 3statistika inferensi 3Sturges 15sukubanyak 177, 180, 211, 251, 252surjektif 143, 161Ttabel 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 34, 35, 38, 40, 41,42, 62, 84, 90, 88, 104, 106, 111, 112, 121, 155, 168,170, 171, 172, 173, 188, 189, 200, 232, 236, 237, 241,244, 245, 252, 253, 255, 267tabel distribusi frekuensi 1, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21,22, 23, 24, 27, 28, 62tabel distribusi frekuensi kumulatif 18, 20, 21,22, 24, 62tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari18, 21, 22tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari18, 21, 22tabel distribusi frekuensi terkelompok 14, 15,16, 18tabel distribusi frekuensi tunggal 14, 15, 20, 23
Matematika Kelas XI - IPS SMA286teorema ketunggalan limit 172teorema limit 180, 185, 190tepi atas 16, 18, 24tepi bawah 16, 18, 24, 31, 33, 38, 40tindakan 64titik belok 233, 242, 243, 244, 245, 247, 251, 263, 264,274, 275titik contoh 83titik sampel 83, 84, 85turunan fungsi 201, 202, 203, 204, 208, 216, 219, 223,224, 226, 228turunan tingkat tinggi 216turus 16, 17Uuji kecekungan 242, 243uji turunan kedua 245, 246, 247, 260uji turunan pertama 240, 241, 246, 247, 254, 257, 260ukuran letak 1, 36, 48, 52ukuran pemusatan 1, 25, 32, 48, 52ukuran penyebaran 1, 43ukuran tendensi sentral 25Vvariansi 117volume 134, 200, 231, 256, 263, 265, 266, 267, 274
Kunci Jawaban287BAB ISTATISTIKAUji Kompetensi1. A3.B5. B7. E9. D11. C13. B15. B17. 11 tahun19. (57,886 58,126) kgBAB IIPELUANGUji Kompetensi1. B3.D5. E7. B9. B11. A13. B15. A17. 12019. 1/10LATIHAN ULANGAN UMUMSEMESTER 11. B15. C3. B17. A5. E19. C7. A21. E9. D23. D11. D25. C13. D27. E29. B41. a. 4 : 731. Eb. 120 anak33. B43.n = 935. B45. 0,0237. A47. 1/439. B49. 135/466BAB IIIKOMPOSISI FUNGSI DANINVERS FUNGSIUji Kompetensi1. C3.C5. D7. C9. B11. E13. D15. C17.41x−< ≤ atau 4x>19. a. ()27Pttt=++b. (25)57P=BAB IVLIMIT FUNGSIUji Kompetensi1. B11. D3.C13. D5. B15. C7. D17. 1/39. B19. 3/4Kunci Matematika XIIPS SMA
Matematika Kelas XI - IPS SMA288BAB VTURUNANUji Kompetensi1. D3.B5. D7. A9. A11. E13. C15. A17.()423'5 1(12 )yxxx=+−19.a = 1;b = 18BAB VINILAI EKSTRIM FUNGSI DANTEKNIK MEMBUAT GRAFIK FUNGSIUji Kompetensi1. C3.D5. B7. A9. C11. C13. D15. B17. a. Naik: 4x<− atau 1x>; Turun: 41x−< <b. Maksimum = 117, minimum = 8c. (3/2, 3834)19. Kedua bilangan adalah 6.LATIHAN ULANGAN UMUMSEMESTER 21. E27. E3. B29. B5. A31. C7. A33. D9. D35. A11. C37. C13. C39. A15. C41.2'()cf c17. D43. 55 km/jam19. D45.a = 3 dan b = 721. C47. 700 ribu rupiah23. B49. 400 dan 12525. E
WahanaMATEMATIKAMATEMATIKAProgram Ilmu Pengetahuan Sosial2Matematika menurut sifatnya merupakan ratu dan sekaligus sebagai pelayan ilmu, maka sebagai ratu matematika mempunyai struktur yang sistematis dan logis tidak dapat dipengaruhi oleh ilmu yang lain, sedangkan sebagai pelayan matematika menyediakan alat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan pada ilmu-ilmu yang lain. Buku ini ditekankan pada cara berpikir sistematis dan logis, di samping menyajikan aplikasinya pada kehidupan sehari-hari. Dengan karakteristik ini diharapkan setelah mempelajari buku ini siswa dapat berpikir secara sistematis dan logis untuk mengambil kesimpulan.Buku ini disusun sesuai dengan kurikulum yang berlaku dan dengan harapan dapat mengembangkan keragaman potensi, minat, kecerdasan intelektual, emosional, spritual, dan kinestetik siswa secara optimal sesuai dengan tingkat perkembangan siswa tersebut. Beberapa keunggulan buku matematika ini adalah sebagai berikut.1. Materi disajikan secara sederhana, sistematis, inspiratif, dan realistis. Siswa diajak berpikir logis dan melihat aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari.2. Untuk mempermudah pemahaman konsep materi, buku ini dilengkapi dengan c o n t o h soal dan penyelesaian. Selain itu, soal-soal pelatihan disajikan dalam berbagai bentuk untuk meningkatkan kemampuan daya pikir, analisis, komunikasi, dan kreativitas.3. Buku ini dilengkapi dengan math info dan teka-teki matematika.Dengan demikian diharapkan dapat membangkitkan rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika.4. Buku ini disusun dengan memenuhi kaidah-kaidah tipografi, tata letak, dan pewarnaan yang memenuhi standar “Human Computer Interactive”. Hal ini dimaksudkan untuk merangsang minat dalam membaca dan mempelajari materi.Buku matematika ini peduli dengan proses pendidikan yang dapat diterima dengan baik oleh semua kelompok siswa; kelompok normal (novice), kelompok sedang (intermediate), dan kelompok tinggi (advance). Buku ini berusaha menjadi sarana penunjang yang baik demi kemajuan pendidikan Indonesia.ISBN 978-979-068-854-4 (No. Jld lengkap)ISBN 978-979-068-923-7 Harga Eceran Tertinggi (HET) Rp.15.083,-